Билет №7. 1. Показательные уравнения 2. Решите уравнение log3x + 2logx 3 = 3 3. Перпендикулярность прямых

Решение:

1. Показательные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина находится в показателе степени.
2. Решим уравнение \( \log_3 x + 2\log_x 3 = 3 \).
   Используем свойство логарифма \( \log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x} \).
   Пусть \( y = \log_3 x \). Тогда уравнение примет вид:
   \( y + \frac{2}{y} = 3 \).
   Умножим обе части на \( y \) (при условии \( y \neq 0 \) и \( x > 0, x \neq 1 \)):
   \( y^2 + 2 = 3y \)
   \( y^2 - 3y + 2 = 0 \).
   Найдем корни квадратного уравнения:
   \( (y-1)(y-2) = 0 \)
   \( y = 1 \) или \( y = 2 \).
   
   Если \( y = 1 \), то \( \log_3 x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x = 3^1 = 3 \).
   Если \( y = 2 \), то \( \log_3 x = 2 \) \( \Rightarrow \) \( x = 3^2 = 9 \).
   
   Проверим условия: \( y \neq 0 \) (1 и 2 не равны 0), \( x > 0 \) (3 и 9 больше 0), \( x \neq 1 \) (3 и 9 не равны 1). Оба корня подходят.
3. Перпендикулярность прямых — это их взаимное расположение, при котором они пересекаются под прямым углом (90°).

Ответ: 1. Уравнения с неизвестной в показателе степени. 2. \( x = 3, x = 9 \). 3. Пересечение под прямым углом.