Билет № 2 1. Определение параллелограмма. 2. Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом. 3. Свойства равнобедренной трапеции. 4. Теорема о пересечении высот треугольника. 5. Отрезок касательной, проведенный из точки М к окружности радиуса 5 см, имеет длину 13 см. Найдите расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки окружности. 6. Докажите, что если центр вписанной в треугольник окружности лежит на медиане треугольника, то этот треугольник равнобедренный.

Билет № 2

1. Определение: Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
2. Теорема: Отношение площадей двух треугольников с равным углом равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол.
3. Свойства равнобедренной трапеции:
   • Боковые стороны равны.
   • Углы при каждом основании равны.
   • Диагонали равны.
4. Теорема: Высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).
5. Решение: Пусть O - центр окружности, R - ее радиус (R = 5 см). Точка М находится вне окружности. Длина касательной MK = 13 см. Треугольник MKO является прямоугольным (т.к. OK - радиус, проведенный в точку касания, а MK - касательная). По теореме Пифагора: $$MK^2 + OK^2 = MO^2$$. $$13^2 + 5^2 = MO^2$$. $$169 + 25 = MO^2$$. $$MO^2 = 194$$. $$MO = √{194}$$ см. Расстояние от точки М до ближайшей точки окружности равно $$MO - R = √{194} - 5$$ см.
6. Доказательство: Пусть в △ ABC центр вписанной окружности I лежит на медиане AM. Медиана AM биссектриса ∠ BAC тогда и только тогда, когда △ ABC равнобедренный с AB = AC. Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис. Если инцентр I лежит на медиане AM, то AM является биссектрисой ∠ BAC. Следовательно, △ ABC равнобедренный с AB = AC.