Билет № 3 1. Определение трапеции, ее виды. 2. Теорема Пифагора. 3. Свойство диагоналей параллелограмма. 4. Теорема о пересекающихся хордах окружности. 5. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 7 см, площадь треугольника 6 см². Найдите гипотенузу. 6. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что точки А; А1; B; B1 лежат на одной окружности с диаметром АВ.

Билет № 3

1. Определение: Трапеция - это четырехугольник, у которого ровно две стороны параллельны (основания). Виды трапеций:
   • Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны.
   • Прямоугольная трапеция: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
   • Произвольная трапеция: боковые стороны не равны и не перпендикулярны основаниям.
2. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. $$c^2 = a^2 + b^2$$.
3. Свойство диагоналей параллелограмма: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
4. Теорема о пересекающихся хордах: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
5. Решение: Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Дано: a + b = 7 см, $$S = 6$$ см². Формула площади прямоугольного треугольника: $$S = (1/2) · a · b$$. Отсюда, $$a · b = 2 · S = 2 · 6 = 12$$ см². По теореме Пифагора, гипотенуза c равна: $$c^2 = a^2 + b^2$$. Заметим, что $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$. Следовательно, $$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$$. Подставляем известные значения: $$c^2 = 7^2 - 2 · 12 = 49 - 24 = 25$$. $$c = √{25} = 5$$ см.
6. Доказательство: Рассмотрим △ ABC. Высоты AA1 и BB1 проведены к сторонам BC и AC соответственно. Точка A1 лежит на BC, точка B1 лежит на AC. Поскольку △ ABC остроугольный, точки A1 и B1 лежат на сторонах, а не на их продолжениях. Углы ∠ AA1B и ∠ BB1A являются прямыми (по определению высоты). Следовательно, точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром AB, так как опираются на него под прямым углом (угол, опирающийся на диаметр, прямой). Точки A и B также принадлежат этой окружности, так как AB является ее диаметром. Таким образом, точки A, A1, B, B1 лежат на одной окружности с диаметром AB.