Билет №24. 1. Тригонометрические функции и их свойства 2. Решите уравнение 3 - х = √9-√36x²-5x⁴ 3. Объем цилиндра

Решение уравнения:

Данное уравнение \( 3 - x = \sqrt{9-\sqrt{36x^2-5x^4}} \) выглядит некорректно из-за наличия \( x^4 \) под корнем и возможной комплексности числа. Предположим, что имелось в виду \( 3 - x = \sqrt{9-36x^2} \) или \( 3 - x = \sqrt{9}-\sqrt{36x^2} \).

Вариант 1: \( 3 - x = \sqrt{9-36x^2} \)

При \( 3 - x \ge 0 \), то есть \( x \le 3 \).

Возведём обе части в квадрат:

\[ (3 - x)^2 = 9 - 36x^2 \]

\[ 9 - 6x + x^2 = 9 - 36x^2 \]

\[ x^2 - 6x = -36x^2 \]

\[ 37x^2 - 6x = 0 \]

\[ x(37x - 6) = 0 \]

Возможные корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{6}{37} \).

Оба корня удовлетворяют условию \( x \le 3 \). Проверим подстановкой:

Для \( x = 0 \): \( 3 - 0 = \sqrt{9 - 36(0)^2} \) → \( 3 = \sqrt{9} \) → \( 3 = 3 \) (Верно).

Для \( x = \frac{6}{37} \): \( 3 - \frac{6}{37} = \frac{111-6}{37} = \frac{105}{37} \). \( \sqrt{9 - 36(\frac{6}{37})^2} = \sqrt{9 - 36 \frac{36}{1369}} = \sqrt{9 - \frac{1296}{1369}} = \sqrt{\frac{12321 - 1296}{1369}} = \sqrt{\frac{11025}{1369}} = \frac{105}{37} \) (Верно).

Вариант 2: \( 3 - x = \sqrt{9} - \sqrt{36x^2} \)

\[ 3 - x = 3 - |6x| \]

\[ -x = -|6x| \]

\[ x = |6x| \]

Это равенство выполняется только при \( x \ge 0 \).

Если \( x \ge 0 \), то \( |6x| = 6x \).

\[ x = 6x \]

\[ 5x = 0 \]

\[ x = 0 \]

Учитывая неоднозначность записи, наиболее вероятным решением, исходя из стандартных задач, является Вариант 1.

Ответ: x = 0, x = 6/37.