Билет №27. 1. Производные функций, вычисленных по определению 2. Упростите выражение a³+b³ / a-b - 1 / a³-b³ 3. Объем конуса

Упрощение выражения:

Выражение имеет вид:

\[ \frac{a^3+b^3}{a-b} - \frac{1}{a^3-b^3} \]

Разложим знаменатель \( a^3-b^3 \):

\[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]

Приведём к общему знаменателю \( (a-b)(a^2 + ab + b^2) \):

\[ \frac{(a^3+b^3)(a^2 + ab + b^2)}{(a-b)(a^2 + ab + b^2)} - \frac{1}{(a-b)(a^2 + ab + b^2)} \]

\[ \frac{(a^3+b^3)(a^2 + ab + b^2) - 1}{a^3 - b^3} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ (a^3+b^3)(a^2 + ab + b^2) = a^3(a^2 + ab + b^2) + b^3(a^2 + ab + b^2) \]

\[ = a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5 \]

Таким образом, числитель будет:

\[ a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5 - 1 \]

Ответ: \( \frac{a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5 - 1}{a^3 - b^3} \)