Билет №25. 1. Обратные тригонометрические функции 2. Решите уравнение √4х + 2√3x² + 4 = x + 2 3. Объем прямой призмы

Решение уравнения:

Уравнение \( \sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2} + 4} = x + 2 \) имеет некорректную запись \( 2\sqrt{3x^2} \). Предположим, что имелось в виду \( 2 \cdot 3x \) или \( 2 \cdot 3x^2 \).

Вариант 1: \( \sqrt{4x + 6x + 4} = x + 2 \)

\[ \sqrt{10x + 4} = x + 2 \]

При \( x + 2 \ge 0 \), то есть \( x \ge -2 \).

Возведём обе части в квадрат:

\[ 10x + 4 = (x + 2)^2 \]

\[ 10x + 4 = x^2 + 4x + 4 \]

\[ x^2 - 6x = 0 \]

\[ x(x - 6) = 0 \]

Возможные корни: \( x = 0 \) и \( x = 6 \).

Оба корня удовлетворяют условию \( x \ge -2 \). Проверим подстановкой:

Для \( x = 0 \): \( \sqrt{4(0) + 6(0) + 4} = \sqrt{4} = 2 \). \( 0 + 2 = 2 \). (Верно).

Для \( x = 6 \): \( \sqrt{4(6) + 6(6) + 4} = \sqrt{24 + 36 + 4} = \sqrt{64} = 8 \). \( 6 + 2 = 8 \). (Верно).

Вариант 2: \( \sqrt{4x + 2\sqrt{3x^2} + 4} = x + 2 \)

\[ \sqrt{4x + 2|x|\sqrt{3} + 4} = x + 2 \]

При \( x \ge 0 \): \( \sqrt{4x + 2x\sqrt{3} + 4} = x + 2 \).

\[ (x(4 + 2\sqrt{3}) + 4) = (x + 2)^2 \]

\[ x^2(4 + 2\sqrt{3}) + 4 = x^2 + 4x + 4 \]

\[ x^2(3 + 2\sqrt{3}) - 4x = 0 \]

\[ x(x(3 + 2\sqrt{3}) - 4) = 0 \]

Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{4}{3 + 2\sqrt{3}} = \frac{4(3 - 2\sqrt{3})}{9 - 12} = \frac{12 - 8\sqrt{3}}{-3} = \frac{8\sqrt{3} - 12}{3} \).

Наиболее вероятным является Вариант 1.

Ответ: x = 0, x = 6.