Билет №3. 1. Линии в треугольнике (медиана, биссектриса, высота). 2. Доказать, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 3. Задача на тему «Окружность». На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC.
2. Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на диаметр BC.
3. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, угол BAC равен 90° (является прямым).
4. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным треугольником.
5. По условию, точки A и B отмечены на окружности с центром O, и угол AOB равен 90°.
6. OA и OB - радиусы окружности. Треугольник AOB - равнобедренный прямоугольный треугольник.
7. AC - хорда, AB - хорда.
8. Рассмотрим треугольник AOC. OA и OC - радиусы окружности, значит OA = OC. Треугольник AOC - равнобедренный.
9. Угол AOC смежный с углом AOB. Угол AOB = 90°.
10. Следовательно, угол AOC = 180° - 90° = 90°.
11. Таким образом, треугольник AOC является равнобедренным прямоугольным треугольником.
12. В равнобедренном прямоугольном треугольнике AOC, стороны, прилежащие к прямому углу (OA и OC), равны.
13. Теперь рассмотрим треугольники AOB и AOC.
14. OA - общая сторона (является радиусом).
15. Угол AOB = 90° (по условию).
16. Угол AOC = 90° (смежный с AOB).
17. OB = OC (радиусы).
18. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
19. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны.
20. AB = AC.
21. Таким образом, хорды AB и AC равны.

Ответ: Хорды AB и AC равны, что следует из равенства треугольников AOB и AOC.