Билет № 3: 1. Прямоугольник, ромб, квадрат. Осевая и центральная симметрия. 2. Найдите площадь трапеции АВСД с основаниями АВ и СД, если: AB=10cm; BC=DA=13cm; CD=20cm. 3. Какие из следующих утверждений Верны? В ответ запишите номера Выбранных утверждений без пробелов, запятых и других Дополнительных символов. 1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны; 2) В тупоугольном треугольнике Все углы тупыеe; 3) Все углы ромба равны.

Билет № 3

1. Геометрические фигуры и симметрия:

• Прямоугольник: четырехугольник, у которого все углы прямые (90°). Осевая симметрия: две оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон. Центральная симметрия: центр пересечения диагоналей.
• Ромб: четырехугольник, у которого все стороны равны. Осевая симметрия: две диагонали. Центральная симметрия: центр пересечения диагоналей.
• Квадрат: четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Осевая симметрия: две диагонали и две прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Центральная симметрия: центр пересечения диагоналей.

2. Площадь трапеции АВСД:

Дано: трапеция АВСД, \( AB = 10 \) см (меньшее основание), \( CD = 20 \) см (большее основание), \( BC = DA = 13 \) см (боковые стороны).

Так как боковые стороны равны, трапеция равнобедренная. Проведем высоты \( BH \) и \( AK \) к основанию \( CD \). Тогда \( HKB = AB = 10 \) см.

\( DH = KC = \frac{CD - AB}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( DAH \) (где \( DA=13 \), \( DH=5 \) ) найдем высоту \( AH \):

\[ AH^2 = DA^2 - DH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ AH = \(\sqrt{144}\) = 12 \) см.

Площадь трапеции \( S = \frac{AB+CD}{2} \cdot AH = \frac{10+20}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \) см².

3. Верные утверждения:

1. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Это возможно только если прямоугольник является квадратом. (Верно)
2. В тупоугольном треугольнике может быть только один тупой угол, остальные два — острые. (Неверно)
3. Все углы ромба равны только в случае, если ромб является квадратом. В общем случае углы не равны. (Неверно)

Ответ: 180 см²; 1