Билет 4. 1. Дайте определение вертикальных углов. Сформулируйте свойство вертикальных углов. 2. Докажите теорему о сумме углов треугольника. 3. Докажите равенство треугольников ADM и AFE. 4. Один из двух односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в три раза больше другого. Найти эти углы.

Билет 4

1. Вертикальные углы — это два угла, у которых одна вершина общая, а стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
2. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна 180°. Доказательство: Пусть дан треугольник ABC. Через вершину B проведем прямую DE, параллельную стороне AC. Угол ADB равен углу BAC (как накрест лежащие при параллельных прямых DE и AC и секущей AB). Угол BEC равен углу BCA (как накрест лежащие при параллельных прямых DE и AC и секущей BC). Угол ABC + угол ABD + угол CBE = 180° (развернутый угол). Заменяя углы ABD и CBE на равные им углы BAC и BCA, получаем: Угол ABC + Угол BAC + Угол BCA = 180°.
3. Дано: Рисунок с пересекающимися прямыми AD и FE, точка пересечения A, треугольники ADM и AFE. Доказать: Треугольник ADM = Треугольнику AFE. Доказательство: Угол DAM равен углу FAE (как вертикальные). Угол ADM равен углу AFE (по условию, так как они образованы при пересечении параллельных прямых). Сторона DM = FE (по условию). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольник ADM = Треугольнику AFE.
4. Пусть односторонние углы равны x и 3x. Сумма односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 180°. x + 3x = 180°. 4x = 180°. x = 45°. Тогда второй угол равен 3 * 45° = 135°.

Ответ: см. решение.