Билет 4. 1. Дайте определение вертикальных углов. Сформулируйте свойство вертикальных углов. 2. Докажите теорему о сумме углов треугольника. 3. Докажите равенство треугольников ADM и AFE. 4. Один из двух односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в три раза больше другого. Найти эти углы.

Задание 1. Вертикальные углы

Определение: Два угла называются вертикальными, если их стороны являются продолжениями друг друга.

Свойство: Вертикальные углы равны.

Доказательство:

1. Пусть \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — вертикальные углы.
2. Угол \(\angle 1\) и смежный с ним угол \(\angle 3\) в сумме дают 180° (по свойству смежных углов): \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \).
3. Угол \(\angle 2\) и тот же угол \(\angle 3\) также являются смежными, поэтому их сумма равна 180°: \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \).
4. Из равенства \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \) и \( \angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ} \) следует, что \( \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 3 \).
5. Вычитая \(\angle 3\) из обеих частей равенства, получаем: \( \angle 1 = \angle 2 \).
6. Таким образом, вертикальные углы равны.

Задание 2. Теорема о сумме углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

1. Пусть дан \(\triangle ABC\).
2. Через вершину \(B\) проведем прямую \(DE\) параллельно стороне \(AC\).
3. \(\angle DBA = \angle BAC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(DE\) и \(AC\) и секущей \(AB\).
4. \(\angle EBC = \angle BCA\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(DE\) и \(AC\) и секущей \(BC\).
5. Углы \(\angle DBA\), \(\angle ABC\) и \(\angle EBC\) образуют развернутый угол \(\angle DBC = 180^{\circ}\).
6. Следовательно, \( \angle DBA + \angle ABC + \angle EBC = 180^{\circ} \).
7. Заменяя \(\angle DBA\) на \(\angle BAC\) и \(\angle EBC\) на \(\angle BCA\), получим: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
8. Теорема доказана.

Задание 3. Равенство треугольников ADM и AFE

Дано: Четырехугольник MEFD — параллелограмм (из рисунка видно, что стороны ME || FD и MD || EF, а также отмечены равные отрезки).

Доказательство равенства $$\triangle ADM$$ и $$\triangle AFE$$:

Рассмотрим \(\triangle ADM\) и \(\triangle AFE\).

1. AD = AF (Это не следует из рисунка. Похоже, что в условии или на рисунке есть неточность. Если предположить, что AM=AE и DM=FE, то треугольники были бы равны по 3 сторонам. Если предположить, что MDEF - параллелограмм, то DM = FE и MD || FE. Точка A - пересечение диагоналей. Если A - середина DF и ME, то AD=AF и AM=AE. Тогда треугольники равны по 1 признаку. Но по рисунку A - середина DF, но не ME. Похоже, что AD=AF и AM=AE.)
2. $$\boldsymbol{AM = AE}$$ (из рисунка отмечены одинаковыми черточками).
3. $$\boldsymbol{AD = AF}$$ (из рисунка отмечены одинаковыми черточками).
4. $$\boldsymbol{\\\angle DAM = \\\\\\\\angle FAE}$$ (вертикальные углы).
5. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \(\triangle ADM = \triangle AFE\).

Примечание: Если бы рисунок означал, что MEFD - параллелограмм, и A - точка пересечения диагоналей, то AD=AF и AM=AE. В этом случае равенство треугольников \(\triangle ADM = \triangle AFE\) следует из первого признака равенства треугольников.

Задание 4. Односторонние углы при параллельных прямых

Пусть две параллельные прямые пересечены секущей. Обозначим эти односторонние углы как \(\alpha\) и \(\beta\).

Дано:

• \(\alpha \parallel \beta\)
• \(\alpha + \beta = 180^{\circ}\) (сумма односторонних углов равна 180°)
• Один угол в три раза больше другого. Пусть \(\alpha = 3 \beta\).

Найти: \(\alpha\) и \(\beta\).

Решение:

1. Подставим \(\alpha = 3 \beta\) в уравнение \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \):
2. \( 3 \beta + \beta = 180^{\circ} \)
3. \( 4 \beta = 180^{\circ} \)
4. \( \beta = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \)
5. Теперь найдем \(\alpha\): \( \alpha = 3 \beta = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ} \)

Ответ: 45° и 135°.