Билет №4. 1. Определение трапеции, виды трапеции. Свойство углов и диагоналей равнобедренной трапеции. 2. Вывести значения тригонометрических функций для угла в 60°.

Решение:

1. Трапеция:

Определение: Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Виды трапеций:

• Разносторонняя трапеция: все стороны и углы различны.
• Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны.
• Прямоугольная трапеция: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Свойства равнобедренной трапеции:

• Боковые стороны равны.
• Углы при каждом основании равны: \( \angle A = \angle D \), \( \angle B = \angle C \).
• Диагонали равны.
• Сумма противоположных углов равна 180°.

2. Тригонометрические функции для угла 60°:

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной \( a \). Проведем высоту BH к стороне AC. Высота BH является также медианой и биссектрисой.

\( \angle ABH = \angle CBH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \).

\( \angle BAH = 60° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH:

• Гипотенуза AB = \( a \).
• Катет AH = \( \frac{a}{2} \).
• Катет BH = \( \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Теперь найдем тригонометрические функции для угла 60° (угол A):

• Синус: \( \sin 60° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• Косинус: \( \cos 60° = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} \).
• Тангенс: \( \tan 60° = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{3} \).
• Котангенс: \( \cot 60° = \frac{1}{\tan 60°} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60° = \frac{1}{2}, \tan 60° = \sqrt{3}, \cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \).