Билет №6. Три признака подобия треугольников. Доказательство одного из них. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.

Решение:

Три признака подобия треугольников:

1. По двум углам: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3. По трем сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство первого признака подобия (по двум углам):

Пусть даны \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) такие, что \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \). Докажем, что \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \).

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то \( \angle C = 180° - \angle A - \angle B \) и \( \angle C_1 = 180° - \angle A_1 - \angle B_1 \). Поскольку \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \), то \( \angle C = \angle C_1 \).

Отложим на сторонах \( AC \) и \( BC \) отрезки \( AK \) и \( AL \) соответственно, такие, что \( AK = A_1B_1 \) и \( AL = A_1C_1 \). Соединим точки K и L.

Рассмотрим \( \triangle AKL \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \). По построению \( AK = A_1B_1 \) и \( AL = A_1C_1 \), и \( \angle A = \angle A_1 \). Следовательно, \( \triangle AKL = \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку равенства треугольников. Отсюда \( \angle AKL = \angle A_1B_1C_1 \) и \( \angle ALK = \angle A_1C_1B_1 \).

Так как \( \angle B = \angle B_1 = \angle A_1B_1C_1 \), то \( \angle AKL = \angle B \). Это означает, что прямые KL и BC параллельны (как соответственные углы при секущей AB равны).

Из параллельности KL и BC следует, что \( \triangle AKL \sim \triangle ABC \) по первому признаку подобия (так как \( \angle A \) общий, а \( \angle AKL = \angle B \) как соответственные).

Из подобия \( \triangle AKL \sim \triangle ABC \) следует, что \( \frac{AK}{AB} = \frac{AL}{AC} \).

Так как \( AK = A_1B_1 \), \( AL = A_1C_1 \), то \( \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} \). Отсюда \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \). Это отношение равно коэффициенту подобия \( k \).

Так как \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \), то \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) по второму признаку подобия.

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках: Через одну из вершин треугольника проведена прямая, параллельная противоположной стороне. Тогда она пересекает две другие стороны, высекая на них пропорциональные отрезки.