БИЛЕТ №4. 1. Параллелограмм. 2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 3. Задача на тему «Ромб». В ромбе ABCD угол А равен 31°. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника ВОС.

БИЛЕТ №4

1. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD и BC || AD).

2. Доказательство свойств параллелограмма:

а) Противоположные стороны равны.

Проведём диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

• AC — общая сторона.


• ∠BCA = ∠CAD (как накрест лежащие при BC || AD и секущей AC).


• ∠BAC = ∠DCA (как накрест лежащие при AB || CD и секущей AC).

По второму признаку равенства треугольников, △ABC = △CDA. Следовательно, AB = CD и BC = AD.

б) Противоположные углы равны.

Из равенства треугольников △ABC = △CDA следует, что ∠B = ∠D.

Аналогично, проведя диагональ BD, доказываем равенство треугольников ABD и CDB. Из их равенства следует, что ∠A = ∠C.

3. Задача на тему «Ромб»

Дано:

ABCD — ромб.

∠A = 31°.

Диагонали пересекаются в точке О.

Найти: Углы треугольника BOC (∠BOC, ∠BCO, ∠CBO).

Решение:

Свойства ромба:

• Все стороны равны: AB = BC = CD = DA.


• Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.


• Диагонали являются биссектрисами углов ромба.


• Диагонали перпендикулярны друг другу (пересекаются под прямым углом).


• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Так как ABCD — ромб, то ∠A = ∠C = 31°, ∠B = ∠D. Сумма углов четырёхугольника равна 360°: \( 2(31°) + 2∠B = 360° \) → \( 62° + 2∠B = 360° \) → \( 2∠B = 298° \) → ∠B = 149°.

Диагонали в ромбе перпендикулярны, поэтому ∠BOC = 90°.

Диагонали делят углы ромба пополам:

• ∠CBO = ∠ABO = ∠B / 2 = 149° / 2 = 74.5°


• ∠BCO = ∠DCO = ∠C / 2 = 31° / 2 = 15.5°

Углы треугольника BOC:

• ∠BOC = 90°


• ∠CBO = 74.5°


• ∠BCO = 15.5°

Проверка: Сумма углов треугольника BOC: 90° + 74.5° + 15.5° = 180°.

Ответ: ∠BOC = 90°, ∠CBO = 74.5°, ∠BCO = 15.5°.