Билет № 4. 2) Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай).

Теорема о вписанном угле. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Частный случай: угол, опирающийся на диаметр. Такой вписанный угол равен 90°.

Доказательство. Пусть AB — диаметр окружности с центром O, а C — точка окружности. Проведём радиус OC. В треугольнике AOC стороны OA и OC равны, поэтому его углы при A и C равны. Обозначим каждый из них через α. Так как A, O и B лежат на одной прямой, угол COB равен 180° − угол AOC, то есть 180° − (180° − 2α) = 2α. В равнобедренном треугольнике COB углы при C и B равны, поэтому угол OCB = (180° − 2α) / 2 = 90° − α. Тогда угол ACB = угол ACO + угол OCB = α + (90° − α) = 90°. Теорема доказана для случая, когда дуга, на которую опирается угол, является полуокружностью.