Билет №5 1. Дайте определение градусной меры угла. Какой угол называется острым, прямым, тупым. Сформулируйте свойства градусных мер углов. 2. Докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника. 3. Докажите равенство треугольников COD и АОВ.

Решение:

1. Градусная мера угла:

• Градусная мера угла — это число, показывающее, сколько градусов содержится в данном угле. Полный оборот равен 360°.
• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше 90° (0° < α < 90°).
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна 90°.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180° (90° < β < 180°).

Свойства градусных мер углов:

• Любой угол имеет положительную градусную меру.
• Градусная мера развернутого угла равна 180°.
• При наложении углов их градусные меры равны.
• Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается биссектрисой.

2. Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника:

Формулировка: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство:

1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, а CD — биссектриса, проведенная к основанию AB.
2. Так как CD — биссектриса, то ∠ACD = ∠BCD (по определению биссектрисы).
3. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то углы при основании равны: ∠CAB = ∠CBA.
4. Рассмотрим треугольники ACD и BCD:
   • CD — общая сторона.
   • ∠ACD = ∠BCD (по условию).
   • ∠CAB = ∠CBA (по условию).
5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольники ACD и BCD равны.
6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны:
   • AC = BC (по условию, так как треугольник равнобедренный).
   • AD = BD (стороны, прилежащие к углу D). Следовательно, CD является медианой.
   • ∠CDA = ∠CDB (углы, прилежащие к стороне CD).
7. Так как ∠CDA и ∠CDB — смежные углы (лежат на прямой AB), то их сумма равна 180°.
8. ∠CDA + ∠CDB = 180°. Так как ∠CDA = ∠CDB, то 2 * ∠CDA = 180°, откуда ∠CDA = 90°.
9. Следовательно, CD является высотой.

Вывод: Биссектриса CD, проведенная к основанию AB равнобедренного треугольника ABC, является медианой (AD=BD) и высотой (∠CDA = 90°).

3. Доказательство равенства треугольников COD и АОВ:

Для доказательства равенства треугольников COD и АОВ, нам нужна информация о равенстве сторон или углов, которая отсутствует на данном изображении. Если предположить, что ABCD — это параллелограмм, то диагонали пересекаются в точке O. В этом случае:

• AO = OC (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам).
• BO = OD (диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам).
• ∠COD = ∠AOB (как вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники COD и АОВ равны.