Билет 7. 1. Дайте определение равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. 2. Докажите свойства смежных и вертикальных углов. 3. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 38 см, а угол В равен 60°. Найти катет ВС. 4. На рисунке АС II DB, CO=OD. Докажите равенство треугольников СОА и DOB.

Билет 7

1. Определение равнобедренного и равностороннего треугольников, свойства равнобедренного:

• Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
• Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Равносторонний треугольник также является равнобедренным.
• Свойства равнобедренного треугольника:
  • Углы при основании равны.
  • Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают.

2. Доказательство свойств смежных и вертикальных углов:

• Смежные углы: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Свойство: Сумма смежных углов равна 180°. Доказательство: Пусть ∠1 и ∠2 — смежные углы. Их общая сторона OB делит развернутый угол AOC на два угла. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠AOC = 180°.
• Вертикальные углы: Два угла называются вертикальными, если их стороны являются продолжением друг друга. Свойство: Вертикальные углы равны. Доказательство: Пусть ∠1 и ∠3 — вертикальные углы. Пусть ∠2 — угол, смежный с ∠1 и ∠3. Тогда ∠1 + ∠2 = 180° и ∠3 + ∠2 = 180°. Отсюда следует, что ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2, значит, ∠1 = ∠3.

3. Нахождение катета ВС в прямоугольном треугольнике:

• Условие: △ ABC — прямоугольный, AB = 38 см (гипотенуза), ∠B = 60°.
• Решение: В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Угол C = 90°, ∠B = 60°, значит ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°. Катет ВС лежит против угла А.
• BC = AB / 2 = 38 см / 2 = 19 см.

4. Доказательство равенства треугольников СОА и DOB:

• Условие: AC ‖ DB, CO = OD.
• Доказательство: Рассмотрим △ COA и △ DOB.
  • CO = OD (по условию).
  • ∠ AOC = ∠ DOB (как вертикальные углы).
  • ∠ CAO = ∠ BDO (как накрест лежащие при параллельных прямых AC и DB и секущей AD).
• Следовательно, △ COA = △ DOB по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).