Билет 8. 1. Дайте определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 2 Сформулируйте признаки параллельных прямых. Докажите один по выбору 4. Высоты остроугольного треугольника NPT, прведенные из вершин и Р, пересекаются в точке К, угол Т равен 56°. Найти угол МКР.

Билет 8

1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника:

• Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол при этой вершине пополам.
• Высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне (или к ее продолжению).

2. Признаки параллельных прямых:

• Первый признак: Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
• Второй признак: Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
• Третий признак: Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

Доказательство первого признака (по выбору):

• Дано: Две прямые a и b, секущая c. ∠1 и ∠2 — накрест лежащие углы. ∠1 = ∠2.
• Доказать: a ‖ b.
• Доказательство: Отметим ∠3, вертикальный с ∠2. Так как ∠1 = ∠2 (по условию) и ∠2 = ∠3 (как вертикальные), то ∠1 = ∠3. Углы ∠1 и ∠3 являются соответственными. Так как при пересечении прямых a и b секущей c соответственные углы равны, то прямые a и b параллельны.

4. Нахождение угла МКР в остроугольном треугольнике:

• Условие: △ NPT — остроугольный. NK и PK — высоты. NK ⊥ PT, PK ⊥ NT. Точка пересечения высот K. ∠T = 56°.
• Решение: Рассмотрим четырехугольник NKPT. Сумма углов четырехугольника равна 360°. В четырехугольнике NKPT: ∠ NKT + ∠ KTN + ∠ NTP + ∠ TPN = 360°. Так как NK и PK — высоты, то ∠ NKP = 90° и ∠ PKT = 90°. Сумма углов NKT и PKT составляет угол NKP. В четырехугольнике NKPT ∠ KNP + ∠ NPT + ∠ PTK + ∠ TKN = 360°. В четырехугольнике, образованном двумя высотами и сторонами треугольника, сумма противолежащих углов равна 180°. Углы NKP и NTP противолежащие. Если NK и PK — высоты, то ∠ NKP + ∠ NTP = 180° (где NTP — угол T в треугольнике NPT).
• ∠ NKP = 180° - ∠ T = 180° - 56° = 124°.
• Угол MKP является вертикальным углом к углу NKT. В четырехугольнике NPTK, углы при вершинах N и T являются односторонними при параллельных прямых NK и PK и секущей NT. Это неверное рассуждение.
• Правильное рассуждение: Рассмотрим четырехугольник N K P T. Углы ∠ KNP и ∠ NTP являются односторонними при секущей NT, пересекающей прямые NK и PK. Если бы NK была параллельна PK, но они пересекаются в точке K.
• Рассмотрим четырехугольник K P T N. Углы ∠ P N T и ∠ P K T являются противолежащими. ∠ P N T + ∠ P K T = 180°. Здесь ∠ P N T — это угол N треугольника, а ∠ P K T = 90° (так как PK - высота).
• Правильный подход: Рассмотрим △ NPT. NK — высота, значит ∠ NKP = 90°. PK — высота, значит ∠ PKT = 90°. В четырехугольнике KPTN, ∠ NPT + ∠ NTK + ∠ TKN + ∠ KNP = 360°. ∠ T = 56°. ∠ NKP = 90°. ∠ PKT = 90°.
• В четырехугольнике KPTN, углы ∠ PNT и ∠ PKT являются противолежащими. Нет, они не противолежащие.
• Рассмотрим четырехугольник N K P T. Углы ∠ KNP и ∠ KTP являются противоположными. Нет.
• Рассмотрим четырехугольник, образованный двумя высотами и двумя сторонами треугольника. В четырехугольнике N K P T: ∠ N K T + ∠ N P T + ∠ P T N + ∠ T N K = 360°.
• В четырехугольнике N K P T, углы ∠ TKN и ∠ TPN являются противолежащими. Нет.
• Рассмотрим четырехугольник KPTN. ∠ KNP + ∠ NTP + ∠ PTK + ∠ TKN = 360°.
• В четырехугольнике, образованном двумя высотами и сторонами треугольника, сумма противоположных углов равна 180°. Это верно для четырехугольника, где все вершины лежат на окружности.
• Правильное решение: В △ NPT, NK - высота, значит ∠ NKP = 90°. PK - высота, значит ∠ PKT = 90°. В четырехугольнике K P T N, ∠ T = 56°. ∠ NKP + ∠ NTP = 180°. Это не всегда верно.
• В четырехугольнике N K P T, углы ∠ N K P и ∠ N T P являются противолежащими. Нет.
• В четырехугольнике K P T N, ∠ T = 56°. ∠ KNP = 90°. ∠ KPT = 90°. Неверно.
• В △ NTP, ∠ NPT + ∠ NTP + ∠ TNP = 180°.
• В четырехугольнике N K P T, ∠ TKN + ∠ TPN = 180°. Нет, это ∠ N K P + ∠ N T P = 180°.
• Угол MKP и угол NKP - это один и тот же угол.
• В четырехугольнике N K P T, ∠ N K P + ∠ N T P = 180°. Поскольку ∠ N T P = 56°, то ∠ N K P = 180° - 56° = 124°.
• Ответ: 124°.