Билет №7 1. Сформулировать теорему о площади трапеции. 2. Признаки равенства прямоугольных треугольников виды (с рисунками). 3. Отрезки АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. 4. ABCD прямоугольник. О — точка пересечения диагоналей. Найдите стороны ДАОВ, если CD = 5 см, а АС= 8 см.

Решение:

1. Теорема о площади трапеции: Площадь трапеции равна половине произведения суммы ее оснований на высоту.
2. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
   • По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.
   • По катету и гипотенузе: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.
   • По катету и острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
   • По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
3. Угол AOD: Так как АС и BD — диаметры, они пересекаются в центре окружности О. Треугольник АСВ — прямоугольный, так как опирается на диаметр АС (угол ABC = 90°). Угол BAC = 90° - угол ACB = 90° - 53° = 37°. Угол AOD является центральным углом, опирающимся на дугу AD. Угол ABD — вписанный угол, опирающийся на дугу AD. Угол ABD = угол ACD (опираются на одну дугу AD). В прямоугольном треугольнике BCD, угол CBD = 90°. Угол BCD = 90° - угол BDC. Рассмотрим треугольник AOD. OA = OD (радиусы), значит, треугольник AOD равнобедренный. Угол CAD = угол CBD (опираются на дугу CD). Угол ABC = 90°. В прямоугольном треугольнике ABC: угол BAC = 90° - угол ACB = 90° - 53° = 37°. Угол AOB = 180° - угол BAC - угол ABC. Это неверный путь. Рассмотрим треугольник COD. OC = OD (радиусы). Угол CAD = угол CBD. Угол OAC = Угол OBD. Угол OAB = Угол ODC. Угол AOB = Угол COD (вертикальные). Угол BOC = Угол AOD (вертикальные). Угол ACB = 53°. Так как AC - диаметр, то угол ABC = 90°. В треугольнике ABC, угол BAC = 180° - 90° - 53° = 37°. Угол BOC = 2 * угол BAC (центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу AB). Это тоже неверно. Угол ACB = 53°. Это угол, вписанный в окружность. Он опирается на дугу AB. Следовательно, центральный угол AOB = 2 * угол ACB = 2 * 53° = 106°. Угол AOD является смежным с углом AOB. Угол AOD = 180° - угол AOB = 180° - 106° = 74°. Этот расчет неверен, так как AC и BD - диаметры. Угол ACB = 53°. Угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол AOB = 2 * 53° = 106°. Угол CAD = Угол CBD (опираются на дугу CD). Угол BCD = 90° - 53° = 37°. Угол BAD = 90°. Угол CAD = 90° - 37° = 53°. Угол CBD = 53°. Значит, угол AOD = 2 * угол ABD = 2 * 53° = 106°. Неверно. AC и BD - диаметры. Треугольник AOB - равнобедренный (OA=OB=радиус). Треугольник COD - равнобедренный (OC=OD=радиус). Треугольник BOC - равнобедренный (OB=OC=радиус). Треугольник AOD - равнобедренный (OA=OD=радиус). Угол ACB = 53°. Этот угол опирается на дугу AB. Центральный угол AOB = 2 * 53° = 106°. Угол AOD смежный с углом AOB. Угол AOD = 180° - 106° = 74°. Этот расчет неверен, так как AC и BD - диаметры. Угол ACB = 53°. Треугольник AOB равнобедренный. Угол BAC = 90 - 53 = 37. Угол BOC = 2 * 37 = 74. Угол AOD = Угол BOC = 74 (вертикальные углы).
4. Стороны ДАОВ: ABCD - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. AC = BD = 8 см. CD = 5 см. Треугольник AOB - равнобедренный. OA = OB = AC/2 = 8/2 = 4 см. Треугольник AOD - равнобедренный. OA = OD = AC/2 = 8/2 = 4 см. Треугольник COD - равнобедренный. OC = OD = AC/2 = 8/2 = 4 см. CD = 5 см. В треугольнике COD, OC=OD=4 см. CD=5 см. Это невозможно, так как сумма двух сторон должна быть больше третьей. Возможно, имеется в виду найти стороны треугольника AOB, если AC=8 см, а CD=5 см. Если CD=5 см, то AB=5 см (противоположные стороны прямоугольника). Диагонали AC=BD=8 см. OA=OB=OC=OD=4 см. В треугольнике AOB: OA=4, OB=4, AB=5. Это треугольник. В треугольнике COD: OC=4, OD=4, CD=5. Это треугольник. Возможно, в задании ошибка. Если CD=5 см, а AC=8 см, то в прямоугольном треугольнике ADC, AD = sqrt(AC^2 - CD^2) = sqrt(8^2 - 5^2) = sqrt(64-25) = sqrt(39). Тогда стороны прямоугольника AD = sqrt(39) и CD = 5. Диагонали AC=BD=8. OA=OB=OC=OD=4. В треугольнике AOB: OA=4, OB=4, AB=5. В треугольнике AOD: OA=4, OD=4, AD=sqrt(39).

Ответ: 1. Площадь трапеции равна полупроизведению суммы оснований на высоту. 2. Прямоугольные треугольники равны по двум катетам; по катету и гипотенузе; по катету и острому углу; по гипотенузе и острому углу. 3. 74°. 4. Если CD = 5 см, а AC = 8 см, то стороны прямоугольника AD = √39 см, CD = 5 см. OA=OB=OC=OD=4 см.