Билет №8 1. Свойства прямоугольных треугольников. 2. Вписанная и описанная окружности (определение с примерами). 3. Периметр квадрата равен 32см. Найдите площадь квадрата. 4. В прямоугольном треугольнике АВС (угол C = 90°) АВ = 41 см, АС = 9 см. Точки М и К - середины сторон АВ и АС соответственно. Найдите: длину отрезка МК

Решение:

1. Свойства прямоугольных треугольников:
   • Сумма острых углов равна 90°.
   • Гипотенуза всегда больше катетов.
   • Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
   • Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы.
2. Вписанная и описанная окружности:
   • Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности равноудален от всех вершин многоугольника. Для любого треугольника существует единственная описанная окружность. Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
   • Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон многоугольника. Для любого треугольника существует единственная вписанная окружность. Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис его углов.
3. Площадь квадрата: Периметр квадрата P = 4a, где a — сторона квадрата. 32 см = 4a => a = 32/4 = 8 см. Площадь квадрата S = a². S = 8² = 64 см².
4. Длина отрезка МК: В прямоугольном треугольнике АВС (угол C = 90°), АВ = 41 см (гипотенуза), АС = 9 см (катет). По теореме Пифагора найдем катет ВС: BC² = AB² - AC² = 41² - 9² = 1681 - 81 = 1600. BC = √1600 = 40 см. Точки М и К — середины сторон АВ и АС соответственно. Отрезок МК соединяет середины двух сторон треугольника АВС. По теореме о средней линии треугольника, средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно, МК = BC / 2. МК = 40 см / 2 = 20 см.

Ответ: 1. Сумма острых углов равна 90°, гипотенуза больше катетов, медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы, катет против угла 30° равен половине гипотенузы. 2. Описанная окружность проходит через вершины, вписанная — касается сторон. 3. 64 см². 4. 20 см.