Билет №8. 1. Расскажите, что называют пропорцией. Сформулируйте основное свойство пропорции. (п. 19) Решите уравнение: а) 1,3 : 3,9 = x : 0,6; б) 1 1/2 : x = 4 3/4 : 2 3/8. 2. Расскажите, какие числа называют рациональными. Покажите, что любое целое число является рациональным числом. Покажите, что любая десятичная дробь является рациональным числом. Сформулируйте свойства сложения и умножения рациональных чисел. (п.35 п.36) 3. Найдите значение выражения, применив распределительное свойство умножения относительно сложения/вычитания: a) 0,87 * 5/9 + 5/9 * 8,13; б) 0,7 * (-0,2) - 0,6 * (- 0,2).

1. Пропорция и её свойство:

Пропорция — это равенство двух отношений.

Основное свойство пропорции: В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Если \( a : b = c : d \) (или \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)), то \( a \cdot d = b \cdot c \).

Решение уравнений:

1. а) 1,3 : 3,9 = x : 0,6
   Используем основное свойство пропорции: \( 1,3 \cdot 0,6 = 3,9 \cdot x \)
   \( 0,78 = 3,9x \)
   \( x = \frac{0,78}{3,9} = \frac{78}{390} = \frac{1}{5} = 0,2 \)
2. б) 1 1/2 : x = 4 3/4 : 2 3/8
   Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
   \( 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
   \( 4\frac{3}{4} = \frac{19}{4} \)
   \( 2\frac{3}{8} = \frac{19}{8} \)
   Пропорция имеет вид: \( \frac{3}{2} : x = \frac{19}{4} : \frac{19}{8} \)
   Используем основное свойство пропорции:
   \( \frac{3}{2} \cdot \frac{19}{8} = x \cdot \frac{19}{4} \)
   \( \frac{57}{16} = x \cdot \frac{19}{4} \)
   \( x = \frac{57}{16} : \frac{19}{4} = \frac{57}{16} \cdot \frac{4}{19} = \frac{3 \cdot 19 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 19} = \frac{3}{4} \)

2. Рациональные числа:

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби \( \frac{m}{n} \), где \( m \) — целое число, а \( n \) — натуральное число.

Целое число как рациональное: Любое целое число \( a \) можно представить в виде дроби \( \frac{a}{1} \). Например, число 5 — это \( \frac{5}{1} \), число -3 — это \( \frac{-3}{1} \). Следовательно, любое целое число является рациональным.

Десятичная дробь как рациональное число: Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Например, 0,75 = \( \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \). Бесконечные периодические десятичные дроби также являются рациональными числами.

Свойства сложения рациональных чисел:

• Переместительное свойство: \( a + b = b + a \)
• Сочетательное свойство: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
• Свойство нуля: \( a + 0 = a \)
• Свойство противоположных чисел: \( a + (-a) = 0 \)

Свойства умножения рациональных чисел:

• Переместительное свойство: \( a \cdot b = b \cdot a \)
• Сочетательное свойство: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
• Свойство единицы: \( a \cdot 1 = a \)
• Свойство нуля: \( a \cdot 0 = 0 \)
• Распределительное свойство умножения относительно сложения/вычитания: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)

3. Значение выражения:

1. а) 0,87 * 5/9 + 5/9 * 8,13
   Применим распределительное свойство вынесением общего множителя \( \frac{5}{9} \) за скобки:
   \( \frac{5}{9} \cdot (0,87 + 8,13) = \frac{5}{9} \cdot 9 = 5 \)
2. б) 0,7 * (-0,2) - 0,6 * (- 0,2)
   Применим распределительное свойство вынесением общего множителя \( (-0,2) \) за скобки:
   \( (-0,2) \cdot (0,7 - 0,6) = (-0,2) \cdot 0,1 = -0,02 \)

Ответ: а) 5; б) -0,02.