Билет №9. 1. Наибольший общий делитель (НОД). НОД кратных чисел. Взаимно простые числа (п. ). Найти НОД чисел: а) 21 и 84; б) 12 и 15; в) 15 и 8. 2. Определение подобных слагаемых. Что значит привести подобные слагаемые? (п.3°). Приведите подобные слагаемые: a) 3x + 15y - 2x - 20y + 7x; б) - 12b + 3m + 3,2b - 2,3m; в) 2/7 x - 5/9 y - 2/7 x + 14/3 y. 3. Решите задачу: «На первой стоянке в 4 раза меньше автомашин, чем на второй. После того, как на первую приехали 35 автомашин, а со второй уехали 25 автомашин, автомашин на стоянке стало поровну. Сколько автомашин было на каждой стоянке первоначально?

1. Наибольший общий делитель (НОД) и взаимно простые числа:

Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких натуральных чисел — это наибольшее натуральное число, на которое все эти числа делятся без остатка.

НОД кратных чисел: Если одно число делится на другое без остатка (т.е. одно число кратно другому), то их НОД равен меньшему из этих чисел. Например, НОД(21, 84) = 21, потому что 84 делится на 21.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, НОД которых равен 1.

Нахождение НОД:

1. а) НОД(21, 84)
   Так как 84 делится на 21 (84 = 21 × 4), то НОД(21, 84) = 21.
2. б) НОД(12, 15)
   Разложим числа на простые множители:
   \( 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \)
   \( 15 = 3 \cdot 5 \)
   Общий множитель — 3. Значит, НОД(12, 15) = 3.
3. в) НОД(15, 8)
   Разложим числа на простые множители:
   \( 15 = 3 \cdot 5 \)
   \( 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \)
   Общих множителей нет, значит, НОД(15, 8) = 1. Числа 15 и 8 — взаимно простые.

2. Подобные слагаемые:

Подобные слагаемые — это слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть.

Привести подобные слагаемые — значит сложить (или вычесть) их коэффициенты, оставляя буквенную часть без изменения.

Приведение подобных слагаемых:

1. а) 3x + 15y - 2x - 20y + 7x
   Сгруппируем слагаемые с 'x' и 'y':
   \( (3x - 2x + 7x) + (15y - 20y) \)
   \( (1 + 7)x + (-5)y = 8x - 5y \)
2. б) - 12b + 3m + 3,2b - 2,3m
   Сгруппируем слагаемые с 'b' и 'm':
   \( (-12b + 3,2b) + (3m - 2,3m) \)
   \( -8,8b + 0,7m \)
3. в) 2/7 x - 5/9 y - 2/7 x + 14/3 y
   Сгруппируем слагаемые с 'x' и 'y':
   \( (\frac{2}{7}x - \frac{2}{7}x) + (-\frac{5}{9}y + \frac{14}{3}y) \)
   \( 0x + (-\frac{5}{9}y + \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 3}y) = \frac{-5 + 42}{9}y = \frac{37}{9}y \)

3. Решение задачи:

Пусть \( x \) — количество автомашин на второй стоянке первоначально.

Тогда на первой стоянке первоначально было \( \frac{x}{4} \) автомашин.

После изменений:

На первой стоянке стало: \( \frac{x}{4} + 35 \)

На второй стоянке стало: \( x - 25 \)

По условию, количество автомашин стало одинаковым:

\( \frac{x}{4} + 35 = x - 25 \)

Решаем уравнение:

\( 35 + 25 = x - \frac{x}{4} \)

\( 60 = \frac{4x - x}{4} \)

\( 60 = \frac{3x}{4} \)

\( 3x = 60 \cdot 4 \)

\( 3x = 240 \)

\( x = \frac{240}{3} = 80 \) (автомашин на второй стоянке)

На первой стоянке было: \( \frac{80}{4} = 20 \) (автомашин)

Ответ: Первоначально на первой стоянке было 20 автомашин, а на второй — 80 автомашин.