Билет №9. 1. Сформулируйте признаки равенства треугольников. 2. Теорема о сумме двух острых углов прямоугольного треугольника (доказательство). 3. 1) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине в равен 150°. Найдите углы при основании треугольника. 2) Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см больше другой. Найдите стороны треугольника. 4. Найдите длину катета МР треугольника МРК.

Краткое пояснение:

Для решения задач нам понадобятся признаки равенства треугольников, свойства углов прямоугольного треугольника и основные формулы для расчета периметра и углов треугольника.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Признаки равенства треугольников:
   • По двум сторонам и углу между ними (СУС - сторона, угол, сторона).
   • По стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ - угол, сторона, угол).
   • По трем сторонам (ССС - сторона, сторона, сторона).
2. Шаг 2: Теорема о сумме двух острых углов прямоугольного треугольника. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Доказательство: Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Следовательно, сумма двух других (острых) углов равна 180° - 90° = 90°.
3. Шаг 3: Решение пункта 3.1. Внешний угол при вершине В равен 150°. Это значит, что внутренний угол В равен 180° - 150° = 30°. Так как треугольник равнобедренный с основанием АС, то углы при основании (углы А и С) равны. Сумма углов треугольника равна 180°. Углы при основании равны (180° - 30°) / 2 = 150° / 2 = 75°.
4. Шаг 4: Решение пункта 3.2. Пусть одна сторона равна x см. Тогда другая сторона равна x + 13 см. Так как треугольник равнобедренный, у него две стороны равны. Возможны два случая:
   • Случай 1: Основание равно x, боковые стороны равны x + 13. Периметр: x + (x + 13) + (x + 13) = 50. Решаем: 3x + 26 = 50, 3x = 24, x = 8 см. Стороны: 8 см, 21 см, 21 см.
   • Случай 2: Боковая сторона равна x, основание равно x + 13. Периметр: x + x + (x + 13) = 50. Решаем: 3x + 13 = 50, 3x = 37, x = 37/3 см. Этот случай маловероятен, так как обычно в задачах подразумевается, что основание меньше боковых сторон, если не указано иное.
5. Шаг 5: Решение пункта 4. На рисунке изображен прямоугольный треугольник МРК с прямым углом К. Указаны катет МК = 10 см и гипотенуза МР = 12 см. Необходимо найти катет РК. Используем теорему Пифагора: МР² = МК² + РК². 12² = 10² + РК². 144 = 100 + РК². РК² = 144 - 100 = 44. РК = √44 = 2√11 см.

Ответ:

• Углы при основании треугольника АВС равны 75°.
• Стороны треугольника: 8 см, 21 см, 21 см.
• Катет РК равен 2√11 см.