Билет №9: Геометрия - 7 Глава II. Треугольники §2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника П. 18. Свойства равнобедренного треугольника Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Доказательство: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Проведем биссектрису BD к основанию AC. 1. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них: - AB = BC (по условию, треугольник равнобедренный) - \(\angle ABD = \angle CBD\) (BD - биссектриса) - BD - общая сторона. 2. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 3. Из равенства треугольников следует, что AD = CD. Значит, BD - медиана. 4. Также из равенства треугольников следует, что \(\angle ADB = \angle CDB\). Так как эти углы смежные, то \(\angle ADB + \angle CDB = 180^\circ\). Значит, \(\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ\). Следовательно, BD - высота. Таким образом, биссектриса BD является и медианой, и высотой.