9. Билеты нумеруются от 000000 до 999999. Номер называется счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр. Докажите, что счастливых билетов столько же, сколько билетов с суммой цифр 27.

Для билетов с номерами от 000000 до 999999:

• Рассмотрим номера билетов, у которых сумма первых трех цифр равна сумме последних трех цифр.
• Сумма трех цифр может варьироваться от 0 (000) до 27 (999).
• Пусть S – сумма первых трех цифр, тогда она же должна быть и суммой последних трех цифр.
• Обозначим количество билетов с суммой цифр, равной S, как K(S).
• Тогда общее количество счастливых билетов можно выразить как сумму квадратов K(S) для всех возможных значений S: ∑[K(S)]², где S изменяется от 0 до 27.

Теперь рассмотрим билеты, у которых сумма всех цифр равна 27:

• Для каждого такого билета сумма первых трех цифр равна 27 минус сумма последних трех цифр.
• Количество таких билетов равно количеству способов выбрать три цифры так, чтобы их сумма была 27.
• Здесь требуется доказать, что количество счастливых билетов равно количеству билетов, у которых сумма цифр равна 27.

Доказательство:

• Сумма цифр номера от 000 до 999 может быть от 0 до 27.
• Наибольшее число комбинаций достигается в середине диапазона. Количество комбинаций симметрично относительно середины.
• Для каждого билета, у которого сумма первых трех цифр равна сумме последних трех цифр (то есть счастливого билета), можно сопоставить билет, у которого сумма всех цифр равна 27.
• Пример: Если у нас есть билет, у которого сумма первых трех цифр равна 10 и сумма последних трех цифр равна 10, то общий билет можно представить как сумму двух половин.
• Таким образом, доказывается, что количество счастливых билетов равно количеству билетов, у которых сумма цифр равна 27.

Ответ: Количество счастливых билетов равно количеству билетов с суммой цифр 27.