Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника ABC вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы AB, пересекает катет BC в точке M. а) Докажите, что ∠BML = ∠BAC. б) Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 20 и CM = 3√5.

а) Введём координаты: C = (0; 0), A = (a; 0), B = (0; b), где a, b > 0. Тогда ∠C — прямой, а уравнение описанной окружности имеет вид x² + y² − ax − by = 0.

Биссектриса прямого угла имеет уравнение y = x. Подстановка в уравнение окружности даёт x(2x − a − b) = 0, поэтому L = ((a + b)/2; (a + b)/2). Середина гипотенузы N = (a/2; b/2). Прямая NL пересекает BC (то есть x = 0) в точке M = (0; (b² − a²)/(2b)).

Из координат L и M получаем: тангенс угла между ML и вертикальной прямой MB равен (a + b)/2 ÷ ((a + b)/2 − (b² − a²)/(2b)) = b/a. В прямоугольном треугольнике ABC тангенс ∠BAC также равен BC/AC = b/a. Оба угла острые, значит, ∠BML = ∠BAC.

б) По формуле для координаты M: CM = |b² − a²|/(2b) = 3√5. Кроме того, a² + b² = AB² = 400. Обозначим y = b². Тогда (400 − 2y)² = 180y, откуда 4y² − 1780y + 160000 = 0. Корни: y = 320 или y = 100.

При b² = 320 получаем a² = 80, поэтому площадь равна ab/2 = 80. При b² = 100 получаем a² = 300, поэтому площадь равна ab/2 = 50√3.

Ответ: а) ∠BML = ∠BAC; б) 80 или 50√3.