14.8. Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к стороне, является также высотой и медианой. Высота делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, тогда половина стороны равна a/2. Биссектриса (она же высота) равна 13√3.

По теореме Пифагора:

$$a^2 = (a/2)^2 + (13\sqrt{3})^2$$ $$a^2 = a^2/4 + 169 \cdot 3$$ $$a^2 - a^2/4 = 507$$ $$3a^2/4 = 507$$ $$a^2 = 507 \cdot 4/3$$ $$a^2 = 169 \cdot 4$$ $$a = \sqrt{169 \cdot 4}$$ $$a = 13 \cdot 2$$ $$a = 26$$

Ответ: 26