14.4. Медиана равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также высотой и биссектрисой. Высота делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, тогда половина стороны равна a/2. Медиана (она же высота) равна 9√3.

По теореме Пифагора:

$$a^2 = (a/2)^2 + (9\sqrt{3})^2$$ $$a^2 = a^2/4 + 81 \cdot 3$$ $$a^2 - a^2/4 = 243$$ $$3a^2/4 = 243$$ $$a^2 = 243 \cdot 4/3$$ $$a^2 = 81 \cdot 4$$ $$a = \sqrt{81 \cdot 4}$$ $$a = 9 \cdot 2$$ $$a = 18$$

Ответ: 18