14.2. Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к стороне, является также медианой и биссектрисой. Высота делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, тогда половина стороны равна a/2. Высота равна 12√3.

По теореме Пифагора:

$$a^2 = (a/2)^2 + (12\sqrt{3})^2$$ $$a^2 = a^2/4 + 144 \cdot 3$$ $$a^2 - a^2/4 = 432$$ $$3a^2/4 = 432$$ $$a^2 = 432 \cdot 4/3$$ $$a^2 = 144 \cdot 4$$ $$a = \sqrt{144 \cdot 4}$$ $$a = 12 \cdot 2$$ $$a = 24$$

Ответ: 24