Биссектриса угла A параллелограмма ABCD делит сторону CD в отношении 1 : 3, считая от вершины угла C. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 84 см.

Пусть биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке F, причем CF : FD = 1 : 3.

1) Обозначим CF = x, тогда FD = 3x. Следовательно, CD = CF + FD = x + 3x = 4x.

2) Т.к. AB = CD (противоположные стороны параллелограмма равны), то AB = 4x.

3) ∠BAF = ∠AFD как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AF. Т.к. AF - биссектриса, то ∠BAF = ∠DAF. Следовательно, ∠DAF = ∠AFD, а значит, треугольник ADF - равнобедренный, и AD = FD = 3x.

4) Периметр параллелограмма ABCD равен 2(AB + AD) = 2(4x + 3x) = 2(7x) = 14x. По условию, периметр равен 84 см, поэтому 14x = 84, откуда x = 84 / 14 = 6 см.

5) Тогда AB = 4x = 4 * 6 = 24 см, AD = 3x = 3 * 6 = 18 см.

Ответ: AB = 24 см, AD = 18 см.