Биссектриса угла А равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС, пересекла серединный перпендикуляр к стороне АС в точке О. Найдите ВО, если АО = 10 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Биссектриса угла A пересекает серединный перпендикуляр к стороне AC в точке O. При этом AO = 10 см. Требуется найти BO.

Пусть серединный перпендикуляр к AC пересекает AC в точке D. Тогда AD = DC и угол ADO = 90 градусов. Так как O лежит на серединном перпендикуляре к AC, то AO = CO. Значит, CO = AO = 10 см.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Так как AO - биссектриса угла A, то угол BAO = углу CAO.

Рассмотрим треугольники ABO и ACO. У них AO - общая сторона, AB = AC (как стороны равнобедренного треугольника), угол BAO = углу CAO. Следовательно, треугольники ABO и ACO равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников ABO и ACO следует, что BO = CO. Так как CO = 10 см, то BO = 10 см.