Вариант 2. Дан угол САВ. Напишите, что является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла. Постройте это геометрическое место точек. Докажите что любая точка, принадлежащая вашему построению равноудалена от сторон угла.

Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла.

Для доказательства рассмотрим произвольную точку M на биссектрисе угла CAB. Опустим перпендикуляры MH и MK на стороны CA и AB соответственно. Так как точка M лежит на биссектрисе, то угол CAM равен углу BAM.

Рассмотрим прямоугольные треугольники CAM и BAM. У них сторона AM – общая, а углы CAM и BAM равны. Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что MH = MK, то есть точка M равноудалена от сторон угла.

Таким образом, любая точка, лежащая на биссектрисе угла CAB, равноудалена от его сторон.