4. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника НВК параллельна стороне НК. Найдите величину угла КНВ, если ∠HBK = 58°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 29°

Пусть биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника HBK параллельна стороне HK. Обозначим эту биссектрису как BL, где L лежит на продолжении стороны HK за точку K.

Так как BL - биссектриса внешнего угла при вершине B, то угол LBH равен половине внешнего угла при вершине B. Обозначим внешний угол при вершине B как \(\angle CBH\). Тогда \(\angle LBH = \frac{1}{2} \angle CBH\).

Так как BL параллельна HK, то \(\angle LBH = \angle BKH\) как соответственные углы при параллельных прямых. Следовательно, \(\angle BKH = \frac{1}{2} \angle CBH\).

Внешний угол \(\angle CBH\) равен сумме двух внутренних углов треугольника HBK, не смежных с ним, то есть \(\angle CBH = \angle BHK + \angle BKH\). Подставляем это в предыдущее уравнение: \(\angle BKH = \frac{1}{2} (\angle BHK + \angle BKH)\).

Умножаем обе части на 2: 2\(\angle BKH = \angle BHK + \angle BKH\). Отсюда \(\angle BKH = \angle BHK\).

Также дано, что \(\angle HBK = 58^\circ\). Внешний угол \(\angle CBH = 180^\circ - \angle HBK = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ\).

Следовательно, \(\angle BKH = \frac{1}{2} \cdot 122^\circ = 61^\circ\). Так как \(\angle BHK = \angle BKH\), то \(\angle BHK = 61^\circ\).

Однако, нам нужно найти величину угла KHB. Угол KHB равен половине внешнего угла при вершине B, то есть KHB = \(\frac{180-58}{2}\) = 61

KHB = 180 -90 - \(\frac{58}{2}\)

KHB = 180 - (58+58) = 180 - 116 = 64

KHВ = \(\frac{H}{2}\)

Пусть угол ВKH= x

x + x +58 = 180

2x = 180 - 58 = 122

x = 61

Углы BKH = KBH. Сумма углов равна 180

Угол K = 180-58 = 122

Угол BKH = X

2x+58=180

2x = 122

x = 61

Ответ: 29°