Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в т. М, лежащей на стороне ВС. кайти периметр параллелограмма АВСД, ecce AB = 9.

Ответ: 18

Пусть биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M на стороне BC. Дано AB = 9.

Т.к. AM — биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD.

Т.к. ABCD — параллелограмм, то AD || BC, следовательно, ∠MAD = ∠BMA как накрест лежащие углы. Получаем, что ∠BAM = ∠BMA, значит, треугольник ABM — равнобедренный, и AB = BM = 9.

Аналогично, DM — биссектриса угла D, то ∠CDM = ∠MDA.

Т.к. ABCD — параллелограмм, то AB || CD, следовательно, ∠MDA = ∠CMD как накрест лежащие углы. Получаем, что ∠CDM = ∠CMD, значит, треугольник CDM — равнобедренный, и CD = CM.

Т.к. ABCD — параллелограмм, то AB = CD, значит, CM = AB = 9.

Так как точка M лежит на стороне BC, то BC = BM + CM = 9 + 9 = 18.

Т.к. ABCD — параллелограмм, то AD = BC = 18.

Так как AD = BC = AB = CD, то ABCD — ромб.

Периметр параллелограмма ABCD равен P = 2(AB + BC) = 2(9 + 18) = 2 \cdot 27 = 54.

Ответ: 54