В треугольнике ABC известно, что AC=BC, AB=14, tgA=\(\frac{3\sqrt{39}}{7}\). Найдите длину стороны AC.

Ответ: 16

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AC = BC, AB = 14, \(tg A = \frac{3\sqrt{39}}{7}\).

Проведем высоту CH к стороне AB. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота CH является и медианой, то есть AH = HB = \(\frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета CH к прилежащему катету AH:

\[tg A = \frac{CH}{AH}\]

Выразим CH через тангенс угла A и AH:

\[CH = AH \cdot tg A = 7 \cdot \frac{3\sqrt{39}}{7} = 3\sqrt{39}\]

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AHC:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\]

Подставим известные значения:

\[AC^2 = 7^2 + (3\sqrt{39})^2 = 49 + 9 \cdot 39 = 49 + 351 = 400\]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[AC = \sqrt{400} = 20\]

Ответ: 20