Биссектрисы углов А и Д параллелограмма ABCD пересекаются в точке Е стороны ВС. Докажите, что Е — середина ВС.

Пусть биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке E, лежащей на стороне BC.

Докажем, что E — середина BC, то есть BE = EC.

В параллелограмме ABCD: AB || CD и AD || BC.

∠BAE = ∠EAD, так как AE — биссектриса угла A.

∠ADE = ∠EDC, так как DE — биссектриса угла D.

∠BEA = ∠EAD как внутренние накрест лежащие углы при AB || CD и секущей AE.

∠CED = ∠ADE как внутренние накрест лежащие углы при AD || BC и секущей DE.

Из равенств углов следует:

∠BAE = ∠BEA, значит, треугольник ABE — равнобедренный, и AB = BE.

∠CED = ∠EDC, значит, треугольник CDE — равнобедренный, и CD = CE.

Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD.

Следовательно, BE = CE.

Таким образом, E — середина стороны BC.