23. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 32.

Поскольку AF и BF - биссектрисы углов A и B соответственно, а углы A и B - односторонние углы при основании трапеции, сумма углов A и B равна 180 градусам. Поэтому сумма половин углов (т.е. углов FAD и FBA) равна 90 градусам. Следовательно, угол AFB - прямой (180 - 90 = 90). Тогда треугольник AFB прямоугольный. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AF^2 + BF^2$$ $$AB^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600$$ $$AB = \sqrt{1600} = 40$$ Ответ: 40