Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 19, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 7.

Дано: Параллелограмм ABCD, BC = 19, расстояние от K до AB равно 7, K - точка пересечения биссектрис углов A и B. Найти: Площадь параллелограмма ABCD. Решение: 1. Пусть высота параллелограмма, опущенная из точки K на сторону AB, равна h. По условию, h = 7. 2. Так как биссектрисы углов A и B пересекаются в точке K, то \(\angle BAK + \angle ABK = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)\). В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то есть \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle BAK + \angle ABK = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \(\angle AKB = 180^\circ - (\angle BAK + \angle ABK) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Таким образом, треугольник ABK - прямоугольный. 4. Расстояние от точки K до стороны AB является высотой этого прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу AB. Это расстояние равно 7. 5. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. В данном случае, площадь S = AB * h', где h' - высота параллелограмма, опущенная на сторону AB. 6. Т.к. биссектрисы углов А и В пересекаются в точке K, и расстояние от K до AB равно 7, а \(\angle AKB = 90^\circ\), то высота параллелограмма, проведенная к стороне AB, равна удвоенному расстоянию от точки K до AB. Следовательно, высота параллелограмма h' = 2 * 7 = 14. 7. Площадь параллелограмма равна S = BC * h' = 19 * 14 = 266. Ответ: 266