Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABC пересекаются в точке K, которая принадлежит стороне AD. Найдите периметр параллелограмма, если KD = 8 см.

Обозначим AB = a, AD = b. Так как K лежит на AD, лучи AK и DK направлены вдоль стороны AD.

Пусть ∠DAB = α. Тогда ∠B = 180° − α, и биссектриса угла B образует с AD угол (180° − α)/2. Биссектриса угла C образует с AD угол α/2. Так как обе биссектрисы пересекаются в K на AD, в треугольнике BKC углы при B и C равны соответственно (180° − α)/2 и α/2; значит, угол при K равен 90°. Это даёт лишь перпендикулярность, а для связи отрезков используем координаты.

Расположим A=(0,0), D=(b,0), B=(x,y), C=(x+b,y). Обозначим единичные векторы вдоль AB и AD через e и f. Направления биссектрис углов B и C пропорциональны −e+f и −e−f соответственно. Их пересечение имеет координаты K = (a − b/2)e + (b/2)f. Поскольку K принадлежит AD, коэффициент при e должен быть нулевым: a − b/2 = 0, то есть b = 2a. Следовательно, AK = b/2 и KD = b/2 = a.

По условию KD = 8 см, значит, AB = 8 см и AD = 16 см. Периметр параллелограмма: P = 2(AB + AD) = 2(8 + 16) = 48 см.

Ответ: 48 см.