Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке S, лежащей на стороне AB. Докажите, что S — середина AB.

Так как \(CS\) — биссектриса угла C, то \(\angle BCS=\angle SCD\). Поскольку \(CD\parallel AB\), а \(S,B\in AB\), углы \(\angle SCD\) и \(\angle CSB\) равны как накрест лежащие. Значит, \(\angle BCS=\angle CSB\), поэтому треугольник BCS равнобедренный и \(BS=BC\).

Аналогично, \(DS\) — биссектриса угла D, а \(CD\parallel AB\), поэтому \(\angle CDS=\angle DSA\). Следовательно, в треугольнике ADS равны углы при D и S, откуда \(AS=AD\).

В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AD=BC\). Значит, \(AS=BS\). Поскольку S лежит на стороне AB, точка S — середина AB.