Блок 2. Средний уровень (Применение в задачах) (отметка «4»). Задание 2. Задача на «общий угол». На сторонах угла B отложены отрезки: BA = BC и BD = BE (точки A и D — на одной стороне угла, точки C и E — на другой, причём BA < BD). Докажи, что ΔBAD = ΔBCE. Подсказка: рассмотри треугольники BAD и BCE. Найди две пары равных сторон и общий угол. Чертёж, дано, доказать. Доказательство:

Чертёж:

Дано: BA = BC; BD = BE; точки A и D лежат на одном луче с началом B, точки C и E — на другом; BA < BD.

Доказать: ΔBAD = ΔBCE.

Замечание: по буквальному условию A, D и B лежат на одном луче, а C, E и B — на другом. Поэтому треугольники BAD и BCE вырожденные; обычный признак равенства невырожденных треугольников здесь применить нельзя.

1. Из BA < BD следует, что точка A расположена между B и D; аналогично, поскольку BC = BA и BE = BD, точка C расположена между B и E.
2. Тогда AD = BD − BA, а CE = BE − BC.
3. Подставим данные равенства: AD = BD − BA = BE − BC = CE.
4. Кроме того, BA = BC и BD = BE по условию. Значит, соответствующие стороны вырожденных конфигураций равны.

Итог: AD = CE; соответствующие отрезки BAD и BCE имеют равные длины. Если в задании подразумевались невырожденные треугольники, в условии необходимо уточнить расположение точек.