Блок 3. Уровень «На 5». 1. Найдите область допустимых значений выражения: \(\frac{3x+6}{x^3-4x}\). 2. Найдите все значения переменной \(y\), при которых рациональная дробь не имеет смысла: \(\frac{y^2+1}{y^3-y^2+4y-4}\). 3. Найдите область допустимых значений выражения и докажите, что оно имеет смысл при любых значениях переменной \(m\): \(\frac{m^3+m-2}{m^2-4m+5}\).

1. Знаменатель не должен равняться нулю. Разложим его на множители: \(x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\). Поэтому исключаем значения \(x=0\), \(x=2\) и \(x=-2\).

Ответ: ОДЗ: все действительные числа, кроме \(-2\), \(0\) и \(2\).

2. Дробь не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю. Группируем слагаемые: \(y^3-y^2+4y-4=y^2(y-1)+4(y-1)=(y-1)(y^2+4)\). Для действительных \(y\) множитель \(y^2+4\) положителен, поэтому знаменатель равен нулю только при \(y=1\).

Ответ: дробь не имеет смысла при \(y=1\).

3. Проверим знаменатель: \(m^2-4m+5=(m-2)^2+1\). Квадрат неотрицателен, поэтому \((m-2)^2+1\ge1>0\) при любом действительном \(m\). Знаменатель никогда не равен нулю.

Ответ: выражение имеет смысл при всех действительных значениях \(m\); его ОДЗ — \(m\in\mathbb{R}\).