13.10. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат со стороной a. Найдите полную поверхность этого цилиндра.

Поскольку боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат со стороной $$a$$, то высота цилиндра $$h = a$$, а длина окружности основания равна $$a$$.

Найдем радиус основания цилиндра:

$$2\pi R = a$$

$$R = \frac{a}{2\pi}$$

Площадь основания цилиндра:

$$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2\pi}\right)^2 = \frac{a^2}{4\pi}$$

Площадь боковой поверхности:

$$S_{бок} = a^2$$

Полная поверхность цилиндра:

$$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = a^2 + 2\cdot \frac{a^2}{4\pi} = a^2 + \frac{a^2}{2\pi} = a^2\left(1 + \frac{1}{2\pi}\right) = a^2\left(\frac{2\pi + 1}{2\pi}\right)$$

Ответ: $$a^2\left(\frac{2\pi + 1}{2\pi}\right)$$