2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: а) Найдем высоту пирамиды. 1. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Это означает, что проекция бокового ребра на плоскость основания равна высоте пирамиды. 2. Проекция бокового ребра - это половина диагонали квадрата в основании. Обозначим сторону квадрата как $a$. Тогда половина диагонали равна $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Угол между высотой и боковым ребром равен 45°. Значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник, и высота равна половине диагонали основания. \[h = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] 4. По теореме Пифагора: \[h^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = 4^2\] \[h^2 + h^2 = 16\] \[2h^2 = 16\] \[h^2 = 8\] \[h = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см}\] Ответ: Высота пирамиды равна $2\sqrt{2}$ см. б) Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. 1. Найдем сторону квадрата в основании: \[h = \frac{a\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\] \[a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\] \[a = 4 \text{ см}\] 2. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней. В данном случае, это 4 одинаковых равнобедренных треугольника. Высота боковой грани (апофема) нам неизвестна. Для её нахождения рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой: 3. По теореме Пифагора: \[AP^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 8 + 4 = 12\] \[AP = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\] 4. Площадь боковой грани: \[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot AP = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2\] 5. Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2\] Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $16\sqrt{3}$ см².