3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение: 1. Найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Тогда половинки диагоналей равны 5 и 12 см. По теореме Пифагора, сторона ромба равна: \[a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}\] 2. Найдем площадь основания параллелепипеда (ромба): \[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2\] 3. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю параллелепипеда, высотой параллелепипеда и проекцией меньшей диагонали на плоскость основания (меньшая диагональ ромба). Так как угол равен 45°, то высота параллелепипеда равна меньшей диагонали ромба, то есть 10 см. \[h = 10 \text{ см}\] 4. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна: \[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 \cdot 13) \cdot 10 = 52 \cdot 10 = 520 \text{ см}^2\] 5. Площадь полной поверхности параллелепипеда равна: \[S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 520 = 240 + 520 = 760 \text{ см}^2\] Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 760 см².