8. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует угол 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

Ответ: \(144(1 + \sqrt{3}) \) см²

1. Обозначим боковое ребро пирамиды как \(l = 12\) см.
2. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.
3. В основании лежит квадрат, обозначим сторону квадрата как \(a\).
4. Высота пирамиды \(h\) и половина диагонали основания \(\frac{d}{2}\) образуют прямоугольный треугольник с боковым ребром.
5. Из этого треугольника: \(\cos(60°) = \frac{d/2}{l}\), где \(d = a\sqrt{2}\). \(\frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2l}\) \(a\sqrt{2} = l\) \(a = \frac{l}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\) см
6. Площадь основания (квадрата): \[S_{\text{осн}} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \text{ см}^2\]
7. Апофема (высота боковой грани) \(A\) образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания \(\frac{a}{2}\) и боковым ребром. \(\sin(60°) = \frac{h}{l}\) \(h = l \cdot \sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) см Апофема (высота боковой грани) находится по теореме Пифагора: \[A = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{12^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{144 - 18} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14} \text{ см}\]
8. Площадь боковой грани: \[S_{\text{бок.гр.}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot A = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{6} \text{ см}^2\]
9. Площадь боковой поверхности (4 грани): \[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{бок.гр.}} = 4 \cdot 18\sqrt{6} = 72\sqrt{6} \text{ см}^2\]
10. Площадь полной поверхности: \[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 72 + 72\sqrt{6} = 72(1 + \sqrt{6}) \text{ см}^2\]

Ответ: \(72(1 + \sqrt{6}) \) см²