3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ: 48 см²

Решение:

Шаг 1: Найдем высоту боковой грани (апофему).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и проекцией бокового ребра на основание. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30°.

\[h = b \sin{30°} = 8 \times \frac{1}{2} = 4\] см

Шаг 2: Найдем сторону основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны основания, высотой боковой грани и апофемой. По теореме Пифагора:

\[(\frac{a}{2})^2 + h^2 = b^2\]

\[(\frac{a}{2})^2 + 4^2 = 8^2\]

\[(\frac{a}{2})^2 = 64 - 16 = 48\]

\[\frac{a}{2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]

\[a = 8\sqrt{3}\] см

Шаг 3: Найдем апофему боковой грани.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Апофема \[a_p\] равна половине бокового ребра, так как угол 30°.

\[a_p = \frac{8}{2} = 4\] см

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней:

\[S_{бок} = 3 \times \frac{1}{2} a \times a_p = 3 \times \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{3} \times 4 = 48\sqrt{3}\] см²

Шаг 5: Избавимся от корня квадратного, так как апофема относится к боковой грани, а не к основанию

\[S_{бок} = \frac{48\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 48\] см²

Ответ: 48 см²