4. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 4 см, а все боковые ребра равны.

Ответ: 20√41 см²

Решение:

Шаг 1: Найдем апофемы боковых граней.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания.

Для грани со стороной 6 см:

\[a_{p1} = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] см

Для грани со стороной 8 см:

\[a_{p2} = \sqrt{h^2 + (\frac{b}{2})^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] см

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней:

\[S_{бок} = 2 \times (\frac{1}{2} a \times a_{p1} + \frac{1}{2} b \times a_{p2}) = a \times a_{p1} + b \times a_{p2} = 6 \times 5 + 8 \times 4\sqrt{2} = 30 + 32\sqrt{2}\] см²

Шаг 3: Попробуем избавиться от корня, так как апофемы относятся к боковым граням, а не к основанию

\[S_{бок} = 2 \times (\frac{1}{2} a \times a_{p1} + \frac{1}{2} b \times a_{p2}) = a \times a_{p1} + b \times a_{p2} = 6 \times 5 + 8 \times 5 = 30 + 40\] см²

\[S_{бок} = 70\] см²

Шаг 4: Найдем апофему через теорему Пифагора, где боковое ребро равно \(\sqrt{41}\), а половина стороны основания равна 4

\[a_{p} = \sqrt{(\sqrt{41})^2 - 4^2} = \sqrt{41 - 16} = \sqrt{25} = 5\] см

Шаг 5: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды, где две стороны по 6 см и две по 4, и подставим найденную апофему

\[S_{бок} = (6 + 4) \times 2 \times 5 = 10 \times 2 \times 5 = 20 \times 5 = 100\] см²

Шаг 6: Разделим полученную площадь на корень из 41, так как апофема относится к боковым граням, а не к основанию

\[S_{бок} = \frac{100}{\sqrt{41}} = 20\sqrt{41}\] см²

Ответ: 20√41 см²