3. Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно 5 м, стороны основания равны 6 м и 8 м, и одна из диагоналей основания равна 12 м. Найдите диагонали параллелепипеда.

1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Боковое ребро AA1 = 5 м. Стороны основания AB = 6 м, BC = 8 м.

2. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Найдем вторую диагональ основания АС. По теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$$

3. Если AC = 12, то

$$12^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos{\angle ABC}$$ $$144 = 36 + 64 - 96 \cdot \cos{\angle ABC}$$ $$44 = -96 \cdot \cos{\angle ABC}$$ $$\cos{\angle ABC} = - \frac{44}{96} = - \frac{11}{24}$$

4. Тогда

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$$ $$BD^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos{(180 - \angle ABC)}$$ $$BD^2 = 36 + 64 + 96 \cdot ( - \frac{11}{24})$$ $$BD^2 = 100 - 44 = 56$$ $$BD = \sqrt{56}$$

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD1. По теореме Пифагора найдем BD1:

$$BD_1 = \sqrt{BB_1^2 + BD^2} = \sqrt{5^2 + 56} = \sqrt{25 + 56} = \sqrt{81} = 9 \text{ м}$$

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC1. По теореме Пифагора найдем AC1:

$$AC_1 = \sqrt{AA_1^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ м}$$

Ответ: 9 м и 13 м