4. Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 и 20 м. Из вершины прямого угла С проведен отрезок CD, перпендикулярный плоскости этого треугольника, CD=35 м. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с катетами AC = 15 м и BC = 20 м. CD ⊥ (ABC), CD = 35 м. Нужно найти расстояние от точки D до гипотенузы AB.

1. Найдём гипотенузу AB треугольника ABC по теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$, следовательно, AB = 25 м.

2. Найдём площадь треугольника ABC: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$$ м².

3. Найдём высоту CE, проведённую к гипотенузе AB: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CE$$, откуда $$CE = \frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 150}{25} = \frac{300}{25} = 12$$ м.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE, в котором CD ⊥ CE. Найдём DE (расстояние от точки D до гипотенузы AB) по теореме Пифагора: $$DE^2 = CD^2 + CE^2 = 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369$$, следовательно, DE = √1369 = 37 м.

Ответ: Расстояние от точки D до гипотенузы AB равно 37 м.