5. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м.

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $$l$$. Пусть $$AC$$ и $$BD$$ – перпендикуляры к прямой $$l$$, опущенные из точек $$A \in \alpha$$ и $$B \in \beta$$ соответственно. Треугольник $$ACD$$ - прямоугольный, поскольку $$AC$$ перпендикулярна прямой $$CD$$, которая лежит в плоскости $$\beta$$, а $$\alpha$$ и $$\beta$$ перпендикулярны. Аналогично, треугольник $$BDC$$ - прямоугольный. Рассмотрим четырехугольник $$ACDB$$. Так как плоскости перпендикулярны, углы $$ACD$$ и $$BDC$$ прямые. Следовательно, можно представить, что это пространственная фигура, где $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны прямой $$CD$$, лежащей в линии пересечения плоскостей. Тогда отрезок $$AB$$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный отрезками $$AC$$, $$BD$$ и $$CD$$. $$AB = \sqrt{AC^2 + BD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ м. Ответ: Длина отрезка $$AB$$ равна 13 м.