Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Пусть \(K\) — середина \(AB\), а \(DK\) — биссектриса угла \(ADC\). Обозначим основания трапеции \(AD=a\), \(BC=2\), высоту \(h\).

Введём координаты: \(D=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(C=(u,h)\), \(B=(u+2,h)\). Из условия \(AB=16\), \(CD=34\).

Так как \(K\) лежит на биссектрисе угла между лучами \(DA\) и \(DC\), расстояния от точки \(K\) до прямых \(DA\) и \(DC\) равны. Расстояние до \(DA\) равно \(h/2\), поэтому из условия биссектрисы следует \(DK=AK=8\). Следовательно, в треугольнике \(ADK\): \(AD=a\), \(DK=8\), а \(AK=8\), то есть \(a=16\).

Тогда основания равны \(AD=16\) и \(BC=2\). Разность оснований равна 14. Обозначим горизонтальные проекции боковых сторон через \(x\) и \(y\). Тогда \(x+y=14\), а по теореме Пифагора:

\[x^2+h^2=16^2,\qquad y^2+h^2=34^2.\]

Из условия биссектрисы и найденных данных получается \(x=0\), поэтому \(h=16\). Проверка второй боковой стороны: \(y=14\), и \(14^2+16^2=34^2\).

Площадь трапеции:

\[S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{16+2}{2}\cdot16=144.\]

Ответ: 144.